「2023衡中同卷分科综合检测1 答案」衡中同卷分科综合测试卷

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17.(10分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线y=kx一4k相交于A,B两点，O为坐标原点，∠AOB=90°.(1)求p;(2)已知点M(4,4),N(8,一4)，过点N的直线l交抛物线C于P,Q两点（异于点M),证明：∠PMQ为直角.(1)解：将y=kx一4k代入y2=2px,得k2x2-(8k2+2p)x+16k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),易知k≠0，△>0，可得x1x2=16,y1y2=-√2px1·2px2=-2px1x2=-8p.又∠AOB=90°，所以x1x2+y1y2=0,即-8p+16=0,得p=2.(2)证明：设P(xp,yp),Q(xQyQ),直线PQ:x-8=m(y+4),将x=my+4m+8代入y2=4x,得y2-4my-16m-32=0,易知△>0，ypyQ=-16m-32,yp +yq=4m.叉kPm·kow=yp-4,yg-4yp-4 yo-4416Ip-4 xQ-4yp一4y一4yp+4yo+4yoyp+4(yo+yp)+164416-16m-32+16m+16=-1,故PM⊥QM,所以∠PMQ=90°.(00)=

6.已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，A是抛物线C上一点，以C的顶点为圆心，经过点A的圆与C的准线相切.若|AF|=√5一1，则p=A.2B.4C.6D.8长率离【答案】A时快题意得圆的方程为2+y=联立十y4'可得x+2p肛=，解得x=y2=2px,1AF=x+号-2-名-5-1所以D=2