「2023衡中同卷信息文综 答案」衡中同卷专题卷

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16.√6+2【解析】当四个小球在球形容器内两两相切时，容器半径取得最小值，此时，四个小球的球心连线构成正四面体，则球形容器的半径为正四面体的外接球半径加上小球的半径，设正四面体ABCD的棱长为2r,△BCD的外接圆的圆心为O1,正四面体ABCD的外接球的球心为O,半径为R,则AB=AC-AD-BD-CD-2r,BO2r.32,正四面体的商A0,=√2r-(2,)25,则OB=R2=(AO,-R)2+BO,即R=(,一R)°+(2，)°解得R=9,又=2，所以正四面体的外接球半径为√6，故满足题意的球形容器的半径为√6+2.A14001BD

19.(12分)已知椭圆C+-1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F,(1,0),过点F1的直线交椭圆C于A,B两点当直线h的斜率为1时，点(-7，)是线段AB的中点。(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，若过点F2的直线l2交椭圆C于E,G两点，且l1∥l2,求四边形ABEG的面积的最大值.4y↑AG0FFxBE解：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2）.由题意可得xi十a2i-a6=0,b2x号+a2y3-a2b2=0,所以-4=-6.工1十x2=-6-462x1一x2a2 yi+y23,即a=1,b23所以。=4Q因为a2-b2=1,所以a2=4,b2=3,所以椭圆C的标准方程为4十3=1(2)根据对称性知|AB|=|EG|,AB∥EG,所以四边形ABEG是平行四边形，又Sm边卷ABBG=2S△F2AB'所以问题可转化为求S△r,AB的最大值.。设直线私的方程为红=y一1，代入号++3=1,得(3m2+4)y2-6my-9=0,4>0.6m-9则y+y:=3nm+4yy=3m中4所以S,w=2×2x1-%1=+-42-√16m-912√1+m23m2+4-4·3m2+4-3m2+4令√1十m2=t,则t≥1，且m2=t2-1,_12t12所以SA,48-32产中3+t记h(:)=3+}(>≥1)，易知h()在区间[1，+∞)上单调递增，t所以h(t)min=h(1)=4,急所以S△F,AB=12123十工≤=3,5m6t所以四边形ABEG的面积的最大值是6.器状点，工，