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12.(1)证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD=CD=√2，BC=22,可得AB=AC=2,故AB⊥AC,即△ABC是等腰直角三角形因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA⊥AB.又PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC又PCC平面PAC,所以AB⊥PC(8分)(2)解：存在.取BC的中点E,连接AE,则AE⊥BC,以A为坐标原点，A应，AD,AP分别为x,y,x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，A(0,0,0),C(2,W2,0),D(0,√2,0)，P(0,0,1),B(W2,-√2,0)，PD=(0√2，-1)，AC=W2,√2,0)，设PM=tPD(0≤t≤1)，则点M为(0W2t,1-t),所以AM=(0W2t,1-t),(12分)设平面MAC的一个法向量是n=(x,y,),AC.n=√2x十√2y=0,则〈A.n=√2ty+(1-t)z=0,令x=1,m=(1,-1,2)(14分)又m=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，2t所以1cos《m,)1=m√2+()0s46=号，解得=弓，即在线段PD上，存在一点M,使得二面角MACD的大小为45°，且点M是线段PD的中点，(16分)此时平面MAC的一个法向量可取n=(1,一1，w2),=(-,39）设BM与平面MAC所成的角为O,则sin0=|cos(n,B1=n·Bn1=2nBMI9即BM与平面MAC所成角的正弦值为，2.(20分)MEBC
1.C【解析】根据题意，过点B作BG⊥PA与PA交于点G,连接GM.平面PAB⊥平面ABCD,DA⊥AB,平面PAB∩平面ABCD=AB,则有DA⊥平面PAB,则有DA⊥BG.又由BG⊥PA,PA∩AD=A,则BG⊥平面PAD,又由NM⊥平面PAD,则NM∥BG.又因为直线BC∥平面PAD,所以BC∥GM,故四边形BGMN为平行四边形，则有MN=BG.因为△PAB为等边三角形，故BG=√3.△PAD中，PA=AD=2,且PA⊥AD,故PD=√/4+4=2√2，故△PND的面积S=号PDX NM=号X2EX√=√6.故选C项.M
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