「2023衡中同卷理数周测卷五 答案」衡中同卷一轮周测卷2023

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22.(12分)已知函数f(x)=lnx-x+1x-11(1)求f(x)的单调区间；(2)设xo满足f(xo)=0,证明：曲线y=lnx在点A(xo,lnxo)处的切线也是曲线y=e的切线.(1)解：函数f(x)的定义域为(0,1)U(1,+∞)，f)=a-则r)x2+1x(x-1)2(2分)因为函数f(x)的定义域为(0,1)U(1,+∞)，所以f'(x)>0恒成立，因此函数f(x)的单调递增区间是(0,1)和(1，+∞).(4分)(2)证明：因为x。是f(x)的一个零点，所以f(xo)=lnx。x0+1xo-1=0,即lnx,=20+x0-1y=lnx,则y'=二，所以曲线y=ln工r在点A(x,lnx)处的切线1的斜率k=】故曲线y=lnx在，点A(xo,lnxo)处的切线l的方程为y一lnxo=一(x一xo).(6分)叉lnxo=0+1。-i,所以1的方程为y=工+2xo zo-1'它在y轴上的裁距为一20-1设曲线y=e2的切，点为B(x1,e1),设在B(x1,e1)处的切线为l',由y=e得y'=e,所以在，点B(x1,e1)处的切线l'的斜率为e1,因此切线l'的方程为y=e1x十e1(1一x,).(8分)当切线'的斜率，=e1等于直线1的斜率=】时，To即e=1,则x,=ln1=-lno切线'在y轴上的藏距为b1=(1一x)=eh(1+1nx)=上(1+1nx),工0雨，所以6-+)是(10分)则直线1，'的斜率相等，在y轴上的戴距也相等，所以直线1，'重合，故曲线y=lnx在点(xo,lnxo)处的切线也是曲线y=e的切线.(12分)

17.(10分)已知直线11与曲线y=x2十x一2在点A(1,0)处相切，直线l2为该曲线另一条切线，且l1⊥l2,(1)求11及12的方程；(2)求由直线L1,l2和x轴所围成的三角形的面积解：(1)由题意知直线11,12的斜率存在，设直线11，l2的斜率分别为k1,k2,对函数y=x2十x一2求导得y'=2x十1，则k1=y'1x=1=3,(1分)所以直线l1的方程为y=3(x一1)，即y=3x一3.(2分)设直线l2与曲线y=x2十x一2相切的切点坐标为(x2,y2),则k2=2x2十1，(3分)因为l1⊥l2,则k1k2=3(2x2十1)=一1，解得=一号则：=号-29(4分)所以直线的方为y+四=吉（十号》甲y=-器(5分)(2)直线，与x轴交于点A1,0,直线：与x输交于点B(-号0），(6分)y=3x-3,.1x=6联立12解得(8分)y=-3x-95y=-2因比，由直线山和x轴所国成的三角彩的面积为5=号×1+)×号-罗(10分)