「衡中同款2023卷 答案」衡中同卷押题卷2023

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20.(12分)已知函数f(x)=x2一(a一2)x一alnx,a>0.(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)当a=1时，证明：对任意的x>0,f(x)十e>x2+x+2.(1)解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2x-(a-2)-&=x+1)(2x-a)(2分)x令f')>0,得x>2令f'(x)<0,得0

0),证明对任意的x>0,f(x)十e>x2十x十2，即证e2-lnx-2>0恒成立，令g(x)=e2-lnx-2,x∈(0，+∞)，即证g(x)mn>0恒成立，(6分)g6)=6-子8红)为增西数，g(2）<0,g'1)>0,所以3x∈（分1，使g(红）=0成立，即e0-1=0,xo则当0

xo时，g'(x)>0,所以y=g(x)在区间(0，xo)上单调递减，在区间(x0,十∞)上单调递增，所以g(x）min=g(xo)=eo-lnxo-2.(8分)又因为e0-1=0,即e0=1,所以g(x)=e0-1n,-2=e0+1n是-2=上+x。-2,又因为x(分小，所以号>，+>2，xo所以g(xo)>0,即对任意的x>0,f(x)十e>x2+x十2.(12分)

4.已知定义在R上的偶函数f(x)在区间（一∞，0]上单调递减，若f(1一a)